میانگین پذیری ضعیف (a(x، جبر عملگرهای تقریبی روی فضای باناخ x، و ارتباط آن با خاصیت تقریبی

در فصل اول، برخی تعاریف مقدماتی از جمله جبر باناخ و مدولهای باناخ را معرفی میکنیم. در فصل دوم، به توصیف میانگین پذیری ضعیف جبر a(x) روی فضای باناخ x میپردازیم. این توصیف نقش اساسی در بیان نتایج فصلهای بعدی دارد. در فصل سوم، به بررسی میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی روی فضاهای ضربی، مجموعهای مستقیم و دوگانها میپردازیم. خاصیت تقریبی کراندار نقشی اساسی در بیشتر نتایج این فصل دارد. همچنین به عنوان یک نتیجه از نتایجی که روی مجموعهای مستقیم بیان میکنیم، خواهیم دید خاصیت تقریبی کراندار شرط لازم برای میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی روی یک فضای باناخ نیست. اینکه خاصیت تقریبی کراندار شرط لازم نیست، انگیزه اصلی ما برای بیان نتایج فصل چهارم است. در این فصل شرط لازم را معرفی می کنیم و از آن استفاده میکنیم و مثالهایی از فضاهای باناخ x را معرفی می کنیم که a(x) میانگین پذیر ضعیف نیست. همه مثالهایی که در این فصل معرفی خواهیم کرد شرط دیگری جز خاصیت تقریبی دارند. بنابراین این نتایج به ما این امکان را نخواهند داد تا در مورد کافی بودن خاصیت تقریبی کراندار برای میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی نتیجه گیری داشته باشیم. به این پرسش که آیا خاصیت تقریبی کراندار شرط کافی هست یا نه در فصل پنجم پاسخ میدهیم. مثالهایی از فضاهای باناخ x با خاصیت تقریبی کراندار خواهیم ساخت که جبر عملگرهای تقریبی روی آنها میانگین پذیر ضعیف نیست.